夏普利值

定義

• 夏普利值：合作賽局理論中，用來公平分配多人合作所產生 價值／成本 的方法，核心是計算每位參與者在不同合作情境下的邊際貢獻，再取平均。
• 分配對象不限於收益：也可以用來分攤 成本／其他可量化的合作價值。
• 核心問題：多人合作產生 額外利益／降低成本 時，如何依照每個人對合作結果的貢獻進行分配。

概念

• 邊際貢獻：某位參與者加入後，使整體 價值／成本 增加多少。
• 邊際成本：在成本分攤問題中，代表某位參與者加入後，讓整體成本增加多少。
• 加入順序會影響邊際貢獻：同一個人加入不同合作組合時，可能產生不同的邊際貢獻。
• 夏普利值考慮所有加入順序：避免只採用單一順序，使特定參與者被 高估／低估。
• 夏普利值取平均：將某人在所有可能加入順序中的邊際貢獻平均，作為其最終應分配的 價值／成本。
• 簡單理解：夏普利值是在問「平均而言，這個人的加入為整體多帶來多少 價值／成本」。

公式

直觀公式

• $$\text{夏普利值}=\frac{\text{所有情境下的邊際貢獻加總}}{\text{所有可能情境數}}$$
  • 邊際貢獻：$\text{加入後的整體 價值／成本}-\text{加入前的整體 價值／成本}$。
    • 如：3 人合作，共有 $3!=6$ 種加入順序，因此每個人的 6 次邊際貢獻加總後除以 6。

全排列公式

• 公式：${\varphi }_i=\frac{1}{n!}\sum _{\pi }{\mathrm{\Delta }}_i^{\pi }$。
  • ${\varphi }_i$：參與者 $i$ 的夏普利值。
  • $n!$：所有可能的加入順序數量。
  • $\pi$：其中一種加入順序。
  • ${\mathrm{\Delta }}_i^{\pi }$：參與者 $i$ 在該順序下加入時產生的邊際貢獻。
• 公式意義：把參與者在每一種加入順序中的邊際貢獻全部算出來，再取平均。

標準公式

• $${\varphi }_i(v)=\sum _{S\subseteq N\setminus \{i\}}\frac{|S|!(n-|S|-1)!}{n!}[v(S\cup \{i\})-v(S)]$$
  • $N$：所有參與者的集合。
  • $S$：尚未包含參與者 $i$ 的合作聯盟。
  • $v(S)$：聯盟 $S$ 所產生的 價值／成本。
  • $v(S\cup \{i\})-v(S)$：參與者 $i$ 加入後產生的邊際貢獻。
• 標準公式、全排列公式 本質相同：前者依合作聯盟加權計算，後者直接依所有加入順序計算。

範例

計程車情境

• 3 人的單獨車資：第 1 位乘客需要 6 元、第 2 位需要 12 元、第 3 位需要 30 元。
• 3 人共同搭車：目的地位於同一路線，因此只需要支付到最遠目的地的 30 元。
• 各自支付原價不合理：$6+12+30=48$ 元，高於實際共乘成本 30 元。
• 平均分攤也不合理：每人支付 10 元，第 1 位乘客原本只需要 6 元，共乘後反而變貴。

直觀算法

• 看當時路段 有誰、有幾個人 參與來做均分。

• 0~6 元：3 個人都需要這段路，因此每人分攤 $6÷3=2$ 元。
• 6~12 元：只有 第 2、第 3 位乘客需要，新增成本為 $12-6=6$ 元，因此每人再分攤 $6÷2=3$ 元。
• 12~30 元：只有第 3 位乘客需要，新增成本為 $30-12=18$ 元，因此由第 3 位乘客負擔 18 元。
• 第 1 位乘客：支付 2 元。
• 第 2 位乘客：支付 $2+3=5$ 元。
• 第 3 位乘客：支付 $2+3+18=23$ 元。
• 最終總成本：$2+5+23=30$ 元。

全排列驗證

• 3 人共有 $3!=6$ 種加入順序。
• 第 1 位乘客的邊際成本：6、6、0、0、0、0 元，平均為 2 元。
• 第 2 位乘客的邊際成本：6、0、12、12、0、0 元，平均為 5 元。
• 第 3 位乘客的邊際成本：18、24、18、18、30、30 元，平均為 23 元。
• 驗證結果：全排列算法同樣得到 2 元、5 元、23 元。
• 範例重點：直觀分段法容易理解，但只有在成本能依使用範圍明確切分時才能直接使用，一般夏普利值問題仍需比較不同合作情境下的邊際貢獻。